教育面面觀:

從題目中學習

分類/專家怎麼說   作者:賴以威助理教授


打開國語、數學、自然、社會各科課本,你會發現比起其他科,數學課本就是多了很多題目,甚至某種程度上可以說是由「題目」所組成的:例題、類題、習題等等……這麼多題目,有些人自然而然把數學跟測驗、考試連結,認為數學就是要考你知道什麼,不知道什麼。

其實不是這樣的。在數學學習中,題目既是檢測你懂了哪些觀念,也是學習的開始。一次的數學學習,往往可能源自於「問一個好問題」,解決問題可以仰賴直覺跟大量的嘗試錯誤,也可以靠數學按部就班的得到答案。舉個例子來說,大數學家阿諾爾德在《給5歲到15歲小孩的問題》裡有這麼一題

有一桶木桶酒和一杯茶。現在,用湯匙從木桶舀滿一匙酒,倒入杯中,沒有液體溢出。你接著再用湯匙從杯中舀滿一匙液體,倒入木桶。此時木桶中的酒混入了一點茶,杯中的茶也混了一點酒。請問「木桶裡的茶」跟「杯子裡的酒」哪個體積大?

答案是一樣大。

阿諾爾德認為,這題不需要任何複雜的數學計算,學齡前的小孩也能解答。許多國小高年級、國中的學生在學過數學後,會用很複雜的數學技巧,例如設未知數等。放棄簡單的創意思考而採用冗長的計算路徑,是捨本逐末,阿諾爾德甚至批評這是被「汙染」了。

可是,換個角度想,「創意」很難教,反而是任何一位懂解方程式的學生,不需要苦思,就能按部就班的解出來,這種系統性的提升,讓普通人也能做到原本需要一定天賦(創意)的人才能做到的事,正是數學的價值之一。

回到「透過題目學習」,從剛剛例子我們也能發現,一道好的題目能帶給學生非常多收穫:嘗試用不同的路徑思考,有沒有發現一條很清楚的數學之路,只要帶入公式就能解出來。找到了,那有沒有別條公式之路,或是有沒有存在一條需要創意之眼才能看出來的特殊小路。創意雖然難模仿、難教導,但他是我們探究更進階數學,遇到沒看過問題時的重要工具,也因此才是數學家阿諾爾德一再強調的能力。

有些人對數學題目的認知是做完看答案對不對,不對就檢討,趕快再看一題。因此他需要大量練習題目,我覺得這是很可惜的。重點不在於數量,而是品質。一道題目就像是一本書,想要增進知識,不在於讀很多品質參差不齊的書,而是要看一本經典、一本真正有內涵的書,這樣的書籍甚至值得你再三反覆閱讀。題目也是一樣,找一道好題目,跟它好好相處,以不同的角度檢視、思考它,才是提升數學能力的有效方法。

 作者介紹:

賴以威

  • 學歷:師大附中、臺大電機博士
  • 現職:臺灣師範大學電機系助理教授、數學推廣平台「數感實驗室」共同創辦人、臉譜數感書系 特約主編
  • 得獎紀錄:2016第五屆中國菠蘿科學獎數學獎、2017關鍵評論網未來大人物

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